第3章补充 — 机动性#

⭐ 接第3章运动学，机动性是推导题和简答题高频考点

3A.1 三个核心概念 ⭐必背#

符号	名称	含义	公式	范围
$\delta_m$	活动性程度	受滑动约束限制后可用活动性	$\delta_m = 3 - \operatorname{rank}[C_1(\beta_s)]$	$0 \sim 3$
$\delta_s$	可操纵度	操纵标准轮提供的附加自由度	$\delta_s = \operatorname{rank}[C_{1s}(\beta_s)]$	$0 \sim 2$
$\delta_M$	机器人机动性	活动性 + 可操纵度	$\delta_M = \delta_m + \delta_s$	—

3A.2 活动性程度 $\delta_m$ 详解#

\delta_m = \dim N[C_1(\beta_s)] = 3 - \operatorname{rank}[C_1(\beta_s)]

$C_1(\beta_s)$ 是滑动约束矩阵，它的零空间维数就是活动性程度。

$\operatorname{rank}[C_1]$	$\delta_m$	含义
0	3	无标准轮 → 全向运动
1	2	差动驱动（两轮同轴）
2	1	自行车、三轮车
3	0	所有方向受限 → 不能动

秩越大 → 零空间越小 → 活动性越受限

3A.3 可操纵度 $\delta_s$ 详解#

\delta_s = \operatorname{rank}[C_{1s}(\beta_s)]

在任何时刻，特殊转向影响运动学约束
改变转向的能力产生间接的附加机动性
取值范围: $0 \leq \delta_s \leq 2$

3A.4 各机器人配置的机动性 ⭐常考#

机器人	$\delta_m$	$\delta_s$	$\delta_M$	说明
差动驱动	2	0	2	两固定标准轮同轴
自行车	1	1	2	后固定 + 前操纵
三轮车	1	1	2	后两固定 + 前操纵
汽车 (Ackermann)	1	1	2	$N_f=2, N_s=2$ 但同轴 → $\operatorname{rank}=1$
同步驱动	1	1	2	所有轮同步转向
全向 (三瑞典轮)	3	0	3	无标准轮，无滑动约束
双舵轮	—	—	3	—
单球形轮	3	0	3	全向平衡机器人

汽车特别说明#

$N_f = 2,\; N_s = 2$
两个固定轮同轴 → $\operatorname{rank}[C_{1f}] = 1$
两个操纵轮同轴 → $\operatorname{rank}[C_{1s}] = 0$
$\therefore\; \delta_m = 1,\; \delta_s = 1,\; \delta_M = 2$

3A.5 瞬时转动中心 ICR#

每个轮的滑动约束可以几何解释：

将 ICR 设为机器人本体的瞬时坐标系原点（ $\beta_i = 0$ 时）:

\begin{bmatrix} \cos\alpha_i & \sin\alpha_i & 0 \end{bmatrix} \cdot \dot{\xi}_R = 0

允许的运动: $v_{xR} = v_{yR} = 0$ ， $\dot{\theta}$ 任意 → 以 ICR 为中心的纯旋转

$\delta_M = 2$ 的机器人: ICR 被限制在一条直线上
$\delta_M = 3$ 的机器人: ICR 没有限制，可在平面任何位置（全向型）

3A.6 自由度与完整性 (Holonomy)#

DOF vs DDOF#

概念	全称	含义
DOF	自由度	机器人达成不同姿态的能力（位置自由度）
DDOF	可微自由度	机器人行走不同路径的能力（速度自由度）

\mathrm{DDOF} \leq \delta_m \leq \mathrm{DOF}

机器人	DDOF	DOF	$\delta_M$
自行车	1	3	2
全向驱动	3	3	3

完整机器人 (Holonomic Robot)#

完整: 没有非完整运动学约束的机器人

完整约束: 可表示为位置变量的显函数 $C(q)=0$
非完整约束: 需要微分关系 $C(q, \dot{q})=0$ 才能表示

判断: 只要有标准轮，就有滑动约束 $C_{1f} \cdot R(\theta) \cdot \dot{\xi}_I = 0$ → 非完整系统

全向机器人是 $\mathrm{DDOF}=3$ 的完整机器人！

完整机器人例#

自行车如果固定操纵轮使轮轴与后轴平行，沿直线运行:

不考虑滑动约束，滚动约束: $v_x = r\dot{\phi} \;\to\; x = x_0 + \phi r$
约束中不含速度变量 → 完整约束

考前速记卡#

问题	答案
$\delta_m$ 公式	$3 - \operatorname{rank}[C_1(\beta_s)]$
$\delta_s$ 公式	$\operatorname{rank}[C_{1s}(\beta_s)]$
$\delta_M$ 公式	$\delta_m + \delta_s$
差动驱动 $\delta_M$	$2\;(=2+0)$
自行车 $\delta_M$	$2\;(=1+1)$
汽车 $\delta_M$	$2\;(=1+1)$
全向机器人 $\delta_M$	$3\;(=3+0)$
DDOF vs DOF	$\mathrm{DDOF} \leq \delta_m \leq \mathrm{DOF}$
完整机器人条件	无非完整运动学约束
非完整约束来源	固定/可操纵标准轮
ICR ( $\delta_M=2$ )	限制在一条直线上
ICR ( $\delta_M=3$ )	平面任意位置

第3章 补充 — 机动性

第3章 补充 — 机动性#